수학 각론 │분수의 나눗셈

분수의 나눗셈

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자연수 ÷ 자연수 에서 나눗셈의 몫을 분수로 나타낼 수 있다. 

 

 

[ 자연수 ÷ 자연수 몫을 분수로 나타내기 ]

 

✅몫이 1보다 작다.

 

 등분제 상황 

 영역 모델 > 등분할 > 자연수 ÷ 자연수 원리 이해

 형식화 : ◆÷★ = ◆ / ★ 로 일반화한다.

 

 

✅몫이 1보다 크다.

 

1. 자연수 몫과 나머지를 이용하는 방법 (  자연수의 나눗셈 계산 원리 이용 )

2.  1 ÷ 자연수와 자연수 ÷ 자연수를 관련짓는 방법 (영역 모델)

 자연수 ÷ 자연수의 몫을 분수로 나타내는 원리를 지도하기 위해서, 주어진 상황을 모델링 or 주변 구체물을 이용해 직접 몫을 구해 분수로 나타낼 수 있음을 이해하게 한다. 

3. 형식화 : 자연수 ÷ 자연수의 몫은 나누어지는 수를 분자, 나누는 수를 분모로 하는 분수로 나타낼 수 있다. 

   

 

분수의 나눗셈의 원리를 이해하고 그 계산을 할 수 있다. 

 

 [ 분수 ÷ 자연수의 몫을 분수로 나타내기 (나눗셈의 의미 : 자연수 > 분수로 확장하기) ]

 

✅ 분자가 자연수의 배수

 

원리이해 

     1. 이중수직선 모델 : 서로 다른 단위 나타낼 수 있다. / 아래 직선이 기준량 / 좌우끼리도 비례 관계 성립 / 상하 대응

                                         :  보조 도구이므로 목표가 되어선 안된다. ( 메타인지이동)

      2. 길이 모델             : 자연수의 나눗셈 떠올리며 분수의 나눗셈도 피제수를 똑같이 제수로 나누는 활동임을 이해시키기

      3. 단위 분수             

 

형식화 

ㅁ/ㅇ ÷ ☆ = ㅁ÷☆ / ㅇ 로 일반화  

 

✅분자가 자연수의 배수가 아닌

 

원리이해

    - 동치분수 중 자연수의 배수인 수로 바꾸어 계산  - 영역 모델을 사용 

     > 분할 과정 : 크기가 작은 조각으로 분할되면서 동시에 조각 개수도 늘어남 

 

형식화

분자가 자연수의 배수가 아닐 때에는 크기가 같은 분수 중 분자가 자연수의 배수인 수로 바꾸어 계산한다. 

 

 

 

[  분수가 포함된 나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 표현하기 ]

 

✅분수 ÷ 자연수를 분수 × 1/자연수 로 바꾸어 계산하기 

 

원리이해 : 영역 모델 + 수직선 결합된 복합 이중 수직선 모델 use

                 : a / v ÷ e 의 몫은 a / v 를 e 등분한 것 중 하나다. 

                 : a/v의 1/e 이므로  a/v × 1/e 

                ÷e 와 ×1/e 는 e 등분한 것 중 하나라는 의미로 같은 뜻이다. 

 

✅ 대분수 ÷ 자연수

 

카테시안 곱의 역 상황 

형식화 1. 대분수 > 가분수 바꾸고 자연수로 나누어 계산

             2. 대분수 > 가분수로 바꾸고 1/자연수로 바꾼 다음 곱하여 계산

 

 

 

 [  분수 나눗셈의 상황  ]

 

등분제

  : 어떤 양을 몇 묶음으로 똑같이 나눴을 때 한 묶음의 크기 구하기

  : 주어진 양을 다른 종류의 양으로 나누는 경우 (제수와 피제수가 다른 종류다)

  : 나누는 수가 분수인 경우 사용 불가능

 

포함제

  : 어떤 양을 몇 개씩 묶었을 때 묶음의 개수 구하는 상황 

  : 주어진 양과 같은 종류의 양으로 나누는 경우 (제수와 피제수가 같은 종류의 양 - 동수누감 적용)

 : 피제수 < 제수 경우 사용 불가능

 

단위 비율 결정

  : 불특정 비율로 주어진 값을 기본 단위에 해당하는 값으로 환산하는 양 구하기

  : 1시간, 1 통 등...

 

곱셈의 역

   : 곱셈의 역조작으로서의 나눗셈 상황

  : 곱과 곱하는 수나 곱해지는 수 둘 중 하나가 주어지고 나머지 하나를 구하는 상황

  : ' 배의 상황 '

 

카테시안 곱의 역

 : 양×양 = 새로운 양 구하는 상황 > 카테시안의 곱의 상황 

 

 

[ 나누는 수가 분수인 나눗셈 지도 방법 ]

 

✅ 분모가 같은 분수 ÷ 분수

원리이해

 -  포함제 : 동수누감의 원리 이용

 - 나누어지는 수 > 나누는 수

 - '나눗셈 하면 결과가 작아진다'는 잘못된 믿음 수정하도록 발문 통해 확인하게 하기

 

✅ 분모가 다른 분수  ÷  분수

원리이해

 - 이중수직선 : 시각적으로 확인하도록 

 - 그림으로 나타내어 구하는 활동으로 통분의 필요성을 자연스럽게 알고

 - 여러 문제 해결하며 통분의 방법으로 해결할 수 있음을 발견하게 하기

 

형식화

 - 분모가 다른 분수의 나눗셈은 통분하여 분자끼리 나누어 구한다. 

 

✅ 자연수  ÷ 분수 

 

단위 비율 결정 (기본 단위 ) > 단순화하기 전략 use

형식화  - ○  ÷ ☆ / ◇ = (○ ÷ ☆) × ◇

 

✅ 분수  ÷ 분수 를 분수 × 분수로 바꾸어 계산하기 

 

형식화

1. 분모가 다른 분수의 나눗셈은 통분하여 분자끼리 나눈다. 

2. 곱셈의 교환 법칙을 적용

> 나눗셈을 곱셈으로 나타내고 나누는 분수의 분모와 분자를 바꾸어 계산한다.

 

 

분수  ÷ 분수 - 카테시안 곱의 역

1. 통분해서 계산

2. 분수의 곱셈으로 나태내어 계산